Mathématiques de base Exemples

$(9, - 2)$ , $(- 5, - 6)$

Étape 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Étape 2

Find the dot product.

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Étape 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 9 \cdot - 5 - 2 \cdot - 6$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $9$ par $- 5$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 45 - 2 \cdot - 6$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $- 6$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 45 + 12$

Étape 2.2.2

Additionnez $- 45$ et $12$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = - 33$

Étape 3

Déterminez la valeur absolue de $a⃗$ .

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Étape 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{9^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{81 + {(- 2)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{81 + 4}$

Étape 3.2.3

Additionnez $81$ et $4$ .

$| a⃗ | = \sqrt{85}$

Étape 4

Déterminez la valeur absolue de $b⃗$ .

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Étape 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 5)}^{2} + {(- 6)}^{2}}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 + {(- 6)}^{2}}$

Étape 4.2.2

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{25 + 36}$

Étape 4.2.3

Additionnez $25$ et $36$ .

$| b⃗ | = \sqrt{61}$

Étape 5

Remplacez les valeurs dans la formule.

$θ = \arccos (\frac{- 33}{\sqrt{85} \sqrt{61}})$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$θ = \arccos (\frac{- 33}{\sqrt{85 \cdot 61}})$

Étape 6.1.2

Multipliez $85$ par $61$ .

$θ = \arccos (\frac{- 33}{\sqrt{5185}})$

Étape 6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$θ = \arccos (- \frac{33}{\sqrt{5185}})$

Étape 6.3

Multipliez $\frac{33}{\sqrt{5185}}$ par $\frac{\sqrt{5185}}{\sqrt{5185}}$ .

$θ = \arccos (- (\frac{33}{\sqrt{5185}} \cdot \frac{\sqrt{5185}}{\sqrt{5185}}))$

Étape 6.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.4.1

Multipliez $\frac{33}{\sqrt{5185}}$ par $\frac{\sqrt{5185}}{\sqrt{5185}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{\sqrt{5185} \sqrt{5185}})$

Étape 6.4.2

Élevez $\sqrt{5185}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{{\sqrt{5185}}^{1} \sqrt{5185}})$

Étape 6.4.3

Élevez $\sqrt{5185}$ à la puissance $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{{\sqrt{5185}}^{1} {\sqrt{5185}}^{1}})$

Étape 6.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{{\sqrt{5185}}^{1 + 1}})$

Étape 6.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{{\sqrt{5185}}^{2}})$

Étape 6.4.6

Réécrivez ${\sqrt{5185}}^{2}$ comme $5185$ .

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Étape 6.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5185}$ comme $5185^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{{(5185^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 6.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{5185^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 6.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{5185^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{5185^{\frac{2}{2}}})$

Étape 6.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{5185^{1}})$

Étape 6.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$θ = \arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{5185})$

Étape 6.5

Évaluez $\arccos (- \frac{33 \sqrt{5185}}{5185})$ .

$θ = 117.27676338$